【核心提示】无论东西方，对勾股定理或是毕达哥拉斯定理的发现都不是简单孤立的数学事件，而是各自文明中思想传统的直接体现。数学定理的发现绝不是对特例的发现，而古希腊与中国以不同的证明思路佐证了各自对于此定理的独立发现。

西方学者一直使用毕达哥拉斯定理的说法，少有勾股定理的用法。即便终身倾力于中国科学技术史研究的李约瑟，在《中华科学文明史》中也采用“毕达哥拉斯定理”的称谓，甚至有“《周髀算经》中对毕达哥拉斯定理的证明”的提法。而身处中国的我们，也认为勾股定理就是西方的毕达哥拉斯定理。

确定何谓数学定理，至少有三种可能的途径：特例表述、普遍性表述和数学证明。就勾股定理或者毕达哥拉斯定理而言，勾三股四弦五是特例表述；a2+b2=c2是普遍性表述；勾股定理或者毕达哥拉斯定理的证明则是数学证明。

“勾广三，股修四，径隅五”出自《周髀算经》中一段商高与周公的对话，但这一特例表述能否看作是定理发现呢？如果把特例表述也看作是定理的发现，则此定理的发现权应当属于巴比伦文明。1945年，美国数学史家伊格鲍尔细致考察了现存美国哥伦比亚大学的Plimpton322号泥版，考证出巴比伦人在汉谟拉比时代（约前1700）已经发现毕达哥拉斯数组，即符合a2+b2=c2的系列数字及其关系。

此发现是否具有几何学意义？著名数学史家克莱因在巴比伦数表发现前就相信，埃及人和巴比伦人只是把几何作为实用工具，“埃及人的几何是怎样的呢？他们并不把算术和几何分开，草片文书中都有这两方面的问题。埃及人也象巴比伦人那样，把几何看作实用工具。他们只是把算术和代数用来解有关面积、体积及其他几何性质的问题”。如果巴比伦数表只是用以算术计算，则与中国的“勾三股四弦五”的特例表述一样，虽然是令人惊奇的发现，但称不上是几何定理。

西方把这一定理称为毕达哥拉斯定理，这是因为欧几里德在《几何原本》中提到毕达哥拉斯证明了这一定理。但克莱因认为，很可能到了公元前4世纪，在毕达哥拉斯学派晚期才实现了定理证明，而毕达哥拉斯本人只是依据特例来肯定所得结果。

由毕达哥拉斯学派完成的该定理的演绎证明在西方思想史上具有重要的意义。如克莱因认为，“希腊人坚持要演绎证明，这也确是了不起的一步。在世界上的几百种文明里，有的的确也搞出了一种粗陋的算术和几何。但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论”。

证明体现了数学的本质。从数学定理的发现过程来看，西方人认为特例表述应当早于普遍性表述，普遍性表述又早于定理证明。如伽利略所言：“你可以相信，毕达哥拉斯远在他以百牛祭庆祝他发现一条几何证明之前，早就肯定直角三角形对直角一边（斜边）的平方等于另外两边的平方之和了。”

最值得注意的是，毕达哥拉斯定理的证明是一个几何学证明，它与算术无关，这明显区别于巴比伦时代对毕达哥拉斯数组以算术形式的发现。

在中国，对勾股定理的特例表述与普遍性表述，都出自《周髀算经》。商高所说的“勾广三，股修四，径隅五”是特例表述，商高与周公对话的年代约为公元前10世纪前后，早于古希腊；《周髀算经》卷上之二中陈子在与荣方的对答中说“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这是勾股定理的普遍性表述，陈子发现此表述至迟为公元前6—前7世纪，大约稍早于古希腊的毕达哥拉斯。传统上认为定理证明是三国时期的赵爽完成的，而商高和陈子都没有完成对于定理的证明。因此，中国数学史家钱宝琮建议在中国不必用人名来命名这个定理，而直接称之为勾股定理。

但近年来，西北大学教授曲安京在综合前辈学者的意见后指出，商高实际上已经给出了对勾股定理的一般性证明。换言之，《周髀算经》中周公与商高的对话既包括特例表述，又包括定理证明。

如此，勾股定理的证明年代从三国时期的赵爽前推到商高时代，也就是公元前10世纪前后，早于毕达哥拉斯学派证明的时代。值得进一步反思的是，如此《周髀算经》中对勾股定理的证明，便早于对于它的普遍性表述，即早于陈子后来做出的表述。商高从特例开始，在证明了“理”之后，又回到了具体的例子。这中间缺乏普遍性表述，其在普遍性表述方面的价值没有在古希腊数学中那么大。

饶有意味的是，中国的勾股定理证明不是按照希腊数学的方式展开，而是按照数形统一的方式进行证明，其中几何学与算学联系在一起。商高的证明如此，赵爽的证明也是如此。吴文俊先生认为：“与希腊欧几里得几何的形数割裂者恰恰相反，我国在数学发展过程中自始至终是把空间形式与数量关系融合在一起的，因而数系统的建立与臻于完备，以及代数学的发生发展，也始终与几何学的发展贯穿在一起。到宋元之世天元——也即未知数概念的明确引入，代数式与其代数运算的阐明，以及几何代数化方法的逐渐成熟，更为解析几何的创立开辟了道路。”

无论东西方，对勾股定理或是毕达哥拉斯定理的发现都不是简单孤立的数学事件，而是各自文明中思想传统的直接体现。数学定理的发现绝不是对特例的发现，而古希腊与中国以不同的证明思路佐证了各自对于此定理的独立发现。中国《周髀算经》中“寓理于算”、“形数统一”的证明传统，区别于古希腊“算术与几何证明分离”的传统。

（作者单位：南开大学哲学院）

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